Twierdzenie Banacha-Stone'a

W matematyce twierdzenie Banacha-Stone'a jest klasycznym wynikiem teorii funkcji ciągłych w przestrzeniach topologicznych , nazwanych na cześć matematyków Stefana Banacha i Marshalla Stone'a .

W skrócie, twierdzenie Banacha-Stone'a pozwala odzyskać zwartą przestrzeń Hausdorffa X ze struktury przestrzeni Banacha przestrzeni C ( X ) ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych lub zespolonych na X . Jeśli wolno powołać się na strukturę algebry C ( X ), jest to łatwe – możemy utożsamić X z widmem C ( X ), zbiorem homomorfizmów algebry w polu skalarnym, wyposażonym w słabą*-topologię odziedziczoną po przestrzeń dualna C ( X )*. Twierdzenie Banacha-Stone'a unika odniesienia do struktury multiplikatywnej, odzyskując X z skrajnych punktów kuli jednostkowej C ( X ) *.

Oświadczenie

Dla zwartej przestrzeni Hausdorffa X , niech C ( X ) oznacza przestrzeń Banacha ciągłych funkcji rzeczywistych lub zespolonych na X , wyposażoną w najwyższą normę ‖·‖ _∞ .

Biorąc pod uwagę zwarte przestrzenie Hausdorffa X i Y , załóżmy , że T : C ( X ) → C ( Y ) jest surjektywną izometrią liniową . Wtedy istnieje homeomorfizm φ : Y → X i funkcja g ∈ C ( Y ) gdzie

${\ Displaystyle | g (y) | = 1 {\ mbox {dla wszystkich}} y \ w Y}$

takie że

${\ Displaystyle (Tf) (y) = g (y) f (\ varphi (y)) {\ mbox {dla wszystkich}} y \ w Y, f \ w C (X).}$

Przypadek, w którym X i Y są zwartymi przestrzeniami metrycznymi , pochodzi od Banacha, podczas gdy rozszerzenie na zwarte przestrzenie Hausdorffa jest spowodowane przez Stone'a. W rzeczywistości obaj dowodzą niewielkiego uogólnienia - nie zakładają, że T jest liniowe, a jedynie, że jest to izometria w sensie przestrzeni metrycznych, i używają twierdzenia Mazura-Ulama, aby pokazać, że T jest afiniczny, a więc ${\ Displaystyle TT (0)}$ jest izometrią liniową.

Uogólnienia

Twierdzenie Banacha-Stone'a zawiera pewne uogólnienia dla funkcji ciągłych o wartościach wektorowych w zwartych przestrzeniach topologicznych Hausdorffa. Na przykład, jeśli E jest przestrzenią Banacha z trywialnym centralizatorem , a X i Y są zwarte, to każda liniowa izometria C ( X ; E ) na C ( Y ; E ) jest silną mapą Banacha-Stone'a.

Podobna technika została również zastosowana do odzyskania przestrzeni X z ekstremalnych punktów dualnych niektórych innych przestrzeni funkcji na X .

Nieprzemiennym odpowiednikiem twierdzenia Banacha-Stone'a jest folklorystyczne twierdzenie, że dwie C*-algebry unitarne są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są całkowicie izometryczne (tj. izometryczne na wszystkich poziomach macierzy). Sama izometria nie wystarczy, jak pokazuje istnienie C*-algebry, która nie jest izomorficzna z algebrą przeciwną (która trywialnie ma tę samą strukturę przestrzeni Banacha).

Zobacz też

• Przestrzeń Banacha – znormalizowana przestrzeń wektorowa, która jest kompletna

•    Araujo, Jesús (2006). „Niezwarte twierdzenie Banacha-Stone'a”. Dziennik teorii operatorów . 55 (2): 285–294. ISSN 0379-4024 . MR 2242851 . *   Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoria operacji liniowych ] (PDF) . Monografie Matematyczne (w języku francuskim). Tom. 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 11.01.2014 r . Źródło 2020-07-11 .