paradoks Skolema

W logice matematycznej i filozofii paradoks Skolema jest pozorną sprzecznością wynikającą z twierdzenia Löwenheima-Skolema skierowanego w dół . Thoralf Skolem (1922) jako pierwszy omówił pozornie sprzeczne aspekty twierdzenia i odkrył względność pojęć teorii mnogości, znanych obecnie jako nieabsolutność . Chociaż nie jest to rzeczywista antynomia , jak paradoks Russella , wynik jest zwykle nazywany paradoksem i został opisany jako „paradoksalny stan rzeczy” przez Skolema (1922: s. 295).

Paradoks Skolema polega na tym, że każda przeliczalna aksjomatyzacja teorii mnogości w logice pierwszego rzędu , jeśli jest niesprzeczna , ma model , który jest policzalny. Wydaje się to sprzeczne, ponieważ na podstawie tych samych aksjomatów można udowodnić zdanie, które intuicyjnie mówi (lub dokładnie mówi w standardowym modelu teorii), że istnieją zbiory, które nie są policzalne. Tak więc pozorna sprzeczność polega na tym, że model, który sam jest policzalny, a zatem zawiera tylko policzalne zbiory, spełnia zdanie pierwszego rzędu, które intuicyjnie stwierdza „istnieją niezliczone zbiory”.

Matematyczne wyjaśnienie paradoksu, pokazujące, że nie jest to sprzeczność w matematyce, podał Skolem (1922). Praca Skolema została ostro przyjęta przez Ernsta Zermelo , który sprzeciwiał się ograniczeniom logiki pierwszego rzędu, ale wynik szybko został zaakceptowany przez społeczność matematyczną.

Filozoficzne implikacje paradoksu Skolema były przedmiotem wielu badań. Jedna linia dociekań kwestionuje, czy słuszne jest twierdzenie, że jakiekolwiek zdanie pierwszego rzędu faktycznie stwierdza, że ​​​​„istnieją niezliczone zbiory”. Ten tok myślenia można rozszerzyć na pytanie, czy jakikolwiek zbiór jest nieprzeliczalny w sensie absolutnym. Niedawno artykuł Hilarego Putnama „Models and Reality” i odpowiedzi na niego doprowadziły do ​​ponownego zainteresowania filozoficznymi aspektami wyników Skolema.

Tło

Jednym z najwcześniejszych wyników teorii mnogości , opublikowanym przez Georga Cantora w 1874 r., było istnienie zbiorów nieprzeliczalnych , takich jak potęga liczb naturalnych , zbiór liczb rzeczywistych i zbiór Cantora . Nieskończony zbiór X jest przeliczalny, jeśli istnieje funkcja, która daje zgodność jeden do jednego między X i liczbami naturalnymi i jest niepoliczalna, jeśli nie ma takiej funkcji korespondencyjnej. Kiedy Zermelo zaproponował swoje aksjomaty dla teorii mnogości w 1908 roku, udowodnił na ich podstawie twierdzenie Cantora , aby zademonstrować ich siłę.

Löwenheim (1915) i Skolem (1920, 1923) udowodnili twierdzenie Löwenheima-Skolema . Forma skierowana w dół tego twierdzenia pokazuje, że jeśli przeliczalna aksjomatyzacja pierwszego rzędu jest spełniona przez dowolną strukturę nieskończoną , to te same aksjomaty są spełnione przez pewną przeliczalną strukturę. W szczególności implikuje to, że jeśli wersje pierwszego rzędu aksjomatów teorii mnogości Zermelo są spełnialne, to są one spełnialne w jakimś policzalnym modelu. To samo dotyczy każdej spójnej aksjomatyzacji pierwszego rzędu teorii mnogości.

Wynik paradoksalny i jego implikacje matematyczne

Skolem (1922) zwrócił uwagę na pozorną sprzeczność między twierdzeniem Löwenheima-Skolema z jednej strony, z którego wynika, że ​​istnieje przeliczalny model aksjomatów Zermelo, a z drugiej strony twierdzeniem Cantora, które stwierdza, że ​​istnieją zbiory nieprzeliczalne i które jest dowieść z aksjomatów Zermelo. „O ile mi wiadomo” – pisze Skolem – „nikt nie zwrócił uwagi na ten osobliwy i pozornie paradoksalny stan rzeczy. Na mocy aksjomatów możemy dowieść istnienia wyższych liczności… Jak to więc możliwe, że cała domena B [przeliczalny model aksjomatów Zermelo] może być już wyliczony za pomocą skończonych dodatnich liczb całkowitych?” (Skolem 1922, s. 295, przekład Bauer-Mengelberg).

Dokładniej, niech B będzie policzalnym modelem aksjomatów Zermelo. Wtedy istnieje pewien zbiór u w B taki, że B spełnia formułę pierwszego rzędu, mówiącą, że u jest niepoliczalne. Na przykład u można przyjąć jako zbiór liczb rzeczywistych w B . Teraz, ponieważ B jest policzalne, istnieje tylko przeliczalnie wiele elementów c takich, że c ∈ u zgodnie z B , ponieważ jest tylko przeliczalnie wiele elementów c w B na początek. Wydaje się więc, że u powinno być policzalne. To jest paradoks Skolema.

Skolem wyjaśnił, dlaczego nie było sprzeczności. W kontekście konkretnego modelu teorii mnogości termin „zbiór” nie odnosi się do dowolnego zbioru, a jedynie do zbioru faktycznie zawartego w modelu. Definicja policzalności wymaga, aby istniała pewna korespondencja jeden do jednego, która sama jest zbiorem. W ten sposób można uznać, że określony zbiór u jest przeliczalny, ale nie jest przeliczalny w określonym modelu teorii mnogości, ponieważ w modelu nie ma zbioru, który daje zgodność jeden do jednego między u a liczbami naturalnymi w tym Model.

Z interpretacji modelu na nasze konwencjonalne pojęcia tych zbiorów oznacza to, że chociaż u odwzorowuje zbiór nieprzeliczalny, istnieje wiele elementów w naszym intuicyjnym pojęciu u , które nie mają odpowiedniego elementu w modelu. Model jest jednak spójny, ponieważ braku tych elementów nie można zaobserwować za pomocą logiki pierwszego rzędu. Przy u jako liczbach rzeczywistych te brakujące elementy odpowiadałyby niedefiniowalnym liczbom .

Skolem użył terminu „względny” do opisania tego stanu rzeczy, w którym ten sam zbiór jest zawarty w dwóch modelach teorii mnogości, jest przeliczalny w jednym modelu, a nie przeliczalny w drugim modelu. Opisał to jako „najważniejszy” wynik w swoim artykule. Współcześni teoretycy mnogości opisują pojęcia, które nie zależą od wyboru modelu przechodniego, jako absolutne . Z ich punktu widzenia paradoks Skolema po prostu pokazuje, że policzalność nie jest absolutną właściwością w logice pierwszego rzędu. (Kunen 1980 s. 141; Enderton 2001 s. 152; Burgess 1977 s. 406).

Skolem opisał swoją pracę jako krytykę teorii mnogości (pierwszego rzędu), mającą na celu zilustrowanie jej słabości jako systemu podstawowego:

„Uważałem, że jest tak jasne, że aksjomatyzacja w kategoriach zbiorów nie jest zadowalającą ostateczną podstawą matematyki, że matematycy w większości nie będą się nią zbytnio interesować. Ale ostatnio ku mojemu zdziwieniu zauważyłem, że tak wielu matematyków uważa, że ​​te aksjomaty teorii mnogości stanowią idealną podstawę dla matematyki; dlatego wydawało mi się, że nadszedł czas na krytykę”. (Ebbinghaus i van Dalen, 2000, s. 147)

Przyjęcie przez środowisko matematyczne

Głównym celem wczesnych badań nad teorią mnogości było znalezienie aksjomatyzacji pierwszego rzędu dla teorii mnogości, która byłaby kategoryczna , co oznacza, że ​​aksjomaty miałyby dokładnie jeden model, składający się ze wszystkich zbiorów. Wynik Skolema pokazał, że nie jest to możliwe, budząc wątpliwości co do wykorzystania teorii mnogości jako podstawy matematyki. Minęło trochę czasu, zanim teoria logiki pierwszego rzędu została rozwinięta na tyle, aby matematycy zrozumieli przyczynę wyniku Skolema; żadne rozwiązanie paradoksu nie było powszechnie akceptowane w latach dwudziestych XX wieku. Fraenkel (1928) nadal opisał wynik jako antynomię:

„Ani księgi antynomii nie zostały jeszcze zamknięte, ani nie osiągnięto jeszcze porozumienia w sprawie jej znaczenia i możliwego rozwiązania”. (van Dalen i Ebbinghaus, 2000, s. 147).

W 1925 roku von Neumann przedstawił nowatorską aksjomatyzację teorii mnogości, która rozwinęła się w teorię mnogości NBG . Bardzo świadomy artykułu Skolema z 1922 r., von Neumann szczegółowo zbadał policzalne modele swoich aksjomatów. W swoich uwagach końcowych von Neumann komentuje, że nie ma kategorycznej aksjomatyzacji teorii mnogości ani żadnej innej teorii z nieskończonym modelem. Mówiąc o wpływie paradoksu Skolema, napisał:

„Obecnie nie pozostaje nam nic innego, jak zauważyć, że mamy jeszcze jeden powód, by mieć zastrzeżenia do teorii mnogości i że na razie nie jest znany żaden sposób na rehabilitację tej teorii”. (Ebbinghaus i van Dalen, 2000, s. 148)

Zermelo początkowo uważał paradoks Skolema za mistyfikację (van Dalen i Ebbinghaus, 2000, s. 148 i nast.) i wypowiadał się przeciwko niemu od 1929 r. Wynik Skolema odnosi się tylko do tego, co obecnie nazywa się logiką pierwszego rzędu, ale Zermelo argumentował przeciwko metamatematyka finitarna leżąca u podstaw logiki pierwszego rzędu (Kanamori 2004, s. 519 i nast.). Zermelo argumentował, że zamiast tego jego aksjomaty powinny być badane w logice drugiego rzędu , ustawienie, w którym wynik Skolema nie ma zastosowania. Zermelo opublikował aksjomatyzację drugiego rzędu w 1930 roku i udowodnił kilka wyników kategoryczności w tym kontekście. Dalsze prace Zermelo nad podstawami teorii mnogości po artykule Skolema doprowadziły do ​​odkrycia kumulatywnej hierarchii i sformalizowania logiki nieskończoności (van Dalen i Ebbinghaus, 2000, przypis 11).

Fraenkla i in. (1973, s. 303–304) wyjaśniają, dlaczego wynik Skolema był tak zaskakujący dla teoretyków mnogości w latach dwudziestych XX wieku. Twierdzenie Gödla o zupełności i twierdzenie o zwartości zostały udowodnione dopiero w 1929 r. Te twierdzenia rzuciły światło na sposób, w jaki zachowuje się logika pierwszego rzędu i ustaliły jej skończony charakter, chociaż oryginalny dowód twierdzenia Gödla o zupełności był skomplikowany. Leona Henkina Alternatywny dowód twierdzenia o zupełności, który jest obecnie standardową techniką konstruowania policzalnych modeli spójnej teorii pierwszego rzędu, został przedstawiony dopiero w 1947 roku. Tak więc w 1922 roku szczególne właściwości logiki pierwszego rzędu, które pozwalają na paradoks Skolema przejść, nie zostały jeszcze zrozumiane. Obecnie wiadomo, że paradoks Skolema jest unikalny dla logiki pierwszego rzędu; jeśli teoria mnogości jest badana przy użyciu logiki wyższego rzędu z pełną semantyką, to nie ma żadnych policzalnych modeli ze względu na używaną semantykę.

Aktualna opinia matematyczna

Obecni logicy matematyczni nie uważają paradoksu Skolema za jakąkolwiek fatalną wadę teorii mnogości. Kleene (1967, s. 324) opisuje wynik jako „nie paradoks w sensie jawnej sprzeczności, ale raczej rodzaj anomalii”. Po przeanalizowaniu argumentu Skolema, że ​​wynik nie jest sprzeczny, Kleene konkluduje: „nie ma absolutnego pojęcia policzalności”. Hunter (1971, s. 208) opisuje tę sprzeczność jako „prawie nawet nie paradoks”. Fraenkla i in. (1973, s. 304) wyjaśniają, że współczesnym matematykom nie przeszkadza brak kategoryczności teorii pierwszego rzędu, tak jak konkluzja twierdzenia Gödla o niezupełności że żaden spójny, skuteczny i wystarczająco silny zestaw aksjomatów pierwszego rzędu nie jest kompletny.

Policzalne modele ZF stały się powszechnymi narzędziami w badaniu teorii mnogości. Na przykład wymuszanie jest często wyjaśniane w kategoriach policzalnych modeli. Fakt, że te przeliczalne modele ZF nadal spełniają twierdzenie, że istnieją zbiory nieprzeliczalne, nie jest uważany za patologię; van Heijenoort (1967) opisuje to jako „nową i nieoczekiwaną cechę systemów formalnych” (van Heijenoort 1967, s. 290).

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Skolem%27s_paradox&oldid=1143991558 ”