Model atomowy (logika matematyczna)

W teorii modeli , poddziedzinie logiki matematycznej , model atomowy jest modelem, w którym pełny typ każdej krotki jest aksjomatyzowany przez pojedynczą formułę . Takie typy nazywane są typami głównymi , a formuły, które je aksjomatyzują, nazywane są formułami pełnymi .

Definicje

Niech T będzie teorią . Kompletny typ p ( x ₁ , ..., x _n ) jest nazywany głównym lub atomowym (względem T ), jeśli jest aksjomatyzowany względem T przez pojedynczy wzór φ ( x ₁ , ..., x _n ) ∈ p ( x ₁ , ..., x _n ).

Formułę φ nazywamy zupełną w T , jeśli dla każdej formuły ψ ( x ₁ , ..., x _n ) teoria T ∪ { φ } implikuje dokładnie jedno z ψ i ¬ ψ . Wynika z tego, że typ kompletny jest główny wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pełną formułę.

Model M nazywamy atomowym , jeśli każda n - krotka elementów M spełnia formułę, która jest zupełna w Th( M ) — teorii M.

Przykłady

Uporządkowane ciało rzeczywistych liczb algebraicznych jest unikalnym atomowym modelem teorii rzeczywistych ciał zamkniętych .
Każdy skończony model jest atomowy.
Gęste uporządkowanie liniowe bez punktów końcowych jest atomowe.
Każdy model pierwszy teorii policzalnej jest atomowy dzięki twierdzeniu o pomijaniu typów .
Każdy policzalny model atomowy jest liczbą pierwszą, ale istnieje wiele modeli atomowych, które nie są liczbami pierwszymi, na przykład nieprzeliczalny gęsty porządek liniowy bez punktów końcowych.
Teoria przeliczalnej liczby niezależnych relacji jednoargumentowych jest kompletna, ale nie ma dopełnialnych formuł ani modeli atomowych.

Nieruchomości

Metodę tam iz powrotem można wykorzystać do wykazania, że dowolne dwa policzalne modele atomowe teorii, które są elementarnie równoważne, są izomorficzne .

Notatki

Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990), Model Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (wyd. 3), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
Hodges, Wilfrid (1997), Krótsza teoria modeli , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6