Rachunek dyskretny

Rachunek dyskretny lub rachunek funkcji dyskretnych jest matematycznym badaniem przyrostowych zmian, w taki sam sposób, w jaki geometria jest badaniem kształtu, a algebra jest badaniem uogólnień operacji arytmetycznych . Słowo rachunek różniczkowy to słowo łacińskie , oznaczające pierwotnie „mały kamyk”; ponieważ takie kamyki były używane do obliczeń, znaczenie tego słowa ewoluowało i dziś zwykle oznacza metodę obliczeń. Tymczasem rachunek różniczkowy , pierwotnie nazywany rachunkiem nieskończenie małym lub „rachunkiem nieskończenie małych ”, jest nauką o ciągłych zmianach.

Rachunek dyskretny ma dwa punkty wejścia, rachunek różniczkowy i rachunek całkowy. Rachunek różniczkowy dotyczy przyrostowych szybkości zmian i nachyleń fragmentarycznych krzywych liniowych. Rachunek całkowy dotyczy akumulacji wielkości i pól pod krzywymi stałymi kawałkowymi. Te dwa punkty widzenia są ze sobą powiązane fundamentalnym twierdzeniem rachunku dyskretnego.

Badanie koncepcji zmiany rozpoczyna się od ich dyskretnej postaci. Rozwój zależy od parametru, $.$ niezależnej Jeśli tak zdecydujemy, możemy zmniejszać przyrost i znaleźć ciągłe odpowiedniki tych pojęć jako granice . $.$ granicą rachunku różniczkowego dyskretnego nieskończenie mały Chociaż służy jako dyskretna podstawa rachunku różniczkowego, główną wartością rachunku dyskretnego są zastosowania.

Dwie początkowe konstrukcje

Dyskretny rachunek różniczkowy to nauka o definicji, właściwościach i zastosowaniach ilorazu różnicowego funkcji. Proces znajdowania ilorazu różnicowego nazywa się różniczkowaniem . Mając funkcję zdefiniowaną w kilku punktach prostej rzeczywistej, iloraz różnicowy w tym punkcie jest sposobem kodowania zachowania funkcji w małej skali (tj. od punktu do następnego). Znalezienie ilorazu różnicowego funkcji w każdej parze kolejnych punktów w jej dziedzinie umożliwia utworzenie nowej funkcji, zwanej funkcją ilorazu różnicowego lub po prostu ilorazem różnicowym pierwotnej funkcji. Formalnie iloraz różnicowy jest operatorem liniowym , który przyjmuje funkcję jako dane wejściowe i generuje drugą funkcję jako wynik. Jest to bardziej abstrakcyjne niż wiele procesów badanych w elementarnej algebrze, gdzie funkcje zwykle wprowadzają liczbę i wyprowadzają inną liczbę. Na przykład, jeśli funkcja podwajająca ma dane wejściowe trzy, to wyprowadza sześć, a jeśli funkcja podwajająca ma dane wejściowe trzy, to wyprowadza dziewięć. Pochodna może jednak przyjąć funkcję kwadratu jako dane wejściowe. Oznacza to, że pochodna pobiera wszystkie informacje funkcji podnoszącej do kwadratu — na przykład, że dwa są wysyłane do czterech, trzy do dziewięciu, cztery do szesnastu itd. — i wykorzystuje te informacje do utworzenia innej funkcji. Funkcja uzyskana przez zróżnicowanie funkcji podnoszącej do kwadratu okazuje się być czymś zbliżonym do funkcji podwajającej.

Załóżmy, że funkcje są zdefiniowane w punktach oddzielonych przyrostem ${\ Displaystyle \ Delta x = h> 0}$ :

{\ Displaystyle a, a + h, a + 2 h, \ ldots, a + nh, \ ldots}

„Funkcja podwojenia” może być oznaczona przez ${\ Displaystyle g (x) = 2x},$ a „funkcja do kwadratu” przez ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ . „Iloraz różnicowy” to szybkość zmian funkcji w jednym z przedziałów określonych wzorem: ${\ Displaystyle [x, x + h]}$

{\ Displaystyle {\ Frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Przyjmuje funkcję $dane wejściowe$ , czyli wszystkie informacje - na przykład, że dwa są wysyłane do czterech, trzy do dziewięciu, cztery do szesnastu i tak dalej - i wykorzystuje te informacje do fa {\ displaystyle f} wyprowadź inną funkcję, funkcję ${\ Displaystyle g (x) = 2x + h}$ , jak się okaże. Dla wygody nową funkcję można zdefiniować w środkowych punktach powyższych przedziałów:

{\ Displaystyle a + h / 2, a + h + h / 2, a + 2 h + h / 2, ..., a + nh + h / 2, ...}

Ponieważ tempo zmian jest takie, że dla całego przedziału $punkt$ cały przedział, który sprawia $iloraz$ różnicy - cochain .

Najczęstszym zapisem ilorazu różnicowego jest:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x + h / 2) = {\ Frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Jeśli dane wejściowe funkcji reprezentują czas, to iloraz różnic reprezentuje zmianę względem czasu. Na przykład, jeśli $jako$ dane wyjściowe, to iloraz różnicy jest tym, jak pozycja zmienia się w ${\ displaystyle f}$ czas, czyli prędkość piłki .

$to$ funkcja jest ( jeśli punkty wykresu funkcji leżą na linii prostej), to funkcję można zapisać , $y$ $jest$ zmienną niezależną, $} jest$ zależną, jest punktem przecięcia i: ${\ displaystyle y}$

{\ Displaystyle m = {\ Frac {\ tekst {wzrost}}} {\ tekst {uruchom}}} = {\ Frac {{\ tekst {zmiana}} y} {{\ tekst {zmiana}} x}} = {\ frac {\ delta y} {\ delta x}}.}

Nachylenie:

{\ Displaystyle m = {\ Frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = \ tan (\ teta)}

Daje to dokładną wartość nachylenia linii prostej.

Jeśli jednak funkcja nie jest liniowa, wówczas zmiana $podzielona$ $zmienia$ się . Iloraz różnicowy nadaje dokładne znaczenie pojęciu zmiany produkcji w odniesieniu do zmiany nakładów. Aby być konkretnym, $niech$ $funkcją$ i ustal $.$ dziedzinie ${\ Displaystyle (x, f (x))}$ jest punktem na wykresie funkcji. Jeśli $}$ przyrostem , $to$ $jest$ następną wartością $displaystyle$ Dlatego ${\ Displaystyle (x + h, f (x + h))}$ jest przyrostem ${\ Displaystyle (x, f ( x))}$ . Nachylenie linii między tymi dwoma punktami wynosi

{\ Displaystyle m = {\ Frac {f (x + h) -f (x)} {(x + h) -x}} = {\ Frac {f (x + h) -f (x)} {h }}.}

Więc ${\ Displaystyle m}$ jest nachyleniem linii między ${\ Displaystyle (x, f (x))}$ i ${\ Displaystyle (x+h,f(x+h))}$ .

Oto szczególny przykład, iloraz różnicy funkcji do kwadratu. Niech ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ będzie funkcją do kwadratu. Następnie:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ Delta f} {\ Delta x}} (x) & = {(x + h) ^ {2} -x ^ {2} \ ponad {h}} \\&={x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2} \ponad {h}}\\&={2hx+h^{2} \ponad {h}}\\ &=2x+h.\end{wyrównane}}}

Iloraz różnicowy ilorazu różnicowego nazywany jest drugim ilorazem różnicowym i jest zdefiniowany w

{\ Displaystyle a + h, a + 2h, a + 3h, \ ldots, a + nh, \ ldots}

i tak dalej.

Dyskretny rachunek całkowy to badanie definicji, właściwości i zastosowań sum Riemanna . Proces znajdowania wartości sumy nazywa się całkowaniem . W języku technicznym rachunek całkowy bada pewien operator liniowy .

Suma Riemanna wprowadza funkcję i wyprowadza funkcję, która daje algebraiczną sumę obszarów między częścią wykresu danych wejściowych a osią x .

Motywującym przykładem są odległości przebyte w określonym czasie.

{\ Displaystyle {\ tekst {odległość}} = {\ tekst {prędkość}} \ cdot {\ tekst {czas}}}

Jeśli prędkość jest stała, potrzebne jest tylko mnożenie, ale jeśli prędkość się zmienia, obliczamy przebytą odległość, dzieląc czas na wiele krótkich odcinków czasu, a następnie mnożąc czas, który upłynął w każdym przedziale, przez jedną z prędkości w tym przedziale , a następnie biorąc sumę ( suma Riemanna ) odległości przebytej w każdym przedziale.

Stała prędkość

Suma Riemanna mierzy całkowitą powierzchnię słupków, określoną przez

,

między

punktami ( i

)

.

Gdy prędkość jest stała, całkowitą odległość przebytą w danym przedziale czasu można obliczyć, mnożąc prędkość i czas. Na przykład podróż ze stałą prędkością 50 mil na godzinę przez 3 godziny daje całkowity dystans 150 mil. Na diagramie po lewej stronie, gdy wykreślono stałą prędkość i czas, te dwie wartości tworzą prostokąt o wysokości równej prędkości i szerokości równej upływającemu czasowi. Dlatego iloczyn prędkości i czasu oblicza również prostokątny obszar pod (stałą) krzywą prędkości. To połączenie między obszarem pod krzywą a przebytą odległością można rozszerzyć na dowolny obszar o nieregularnym kształcie, wykazujący stopniowo zmieniającą się prędkość w danym okresie czasu. Jeśli słupki na diagramie po prawej stronie przedstawiają prędkość, która zmienia się z interwału na następny, przebyta odległość (między czasami reprezentowanymi przez $)$ jest $zacienionym$ . region ${\ displaystyle s}$ .

Tak więc odstęp między i jest podzielony na liczbę równych segmentów, których długość jest reprezentowana przez symbol $Δ$ $displaystyle \ Delta$ $x$ . Dla każdego małego segmentu mamy jedną wartość funkcji ${\ Displaystyle f (x)}$ . Nazwij tę wartość ${\ displaystyle v}$ . Następnie pole prostokąta o podstawie $daje$ wysokości przebytą odległość (czas pomnożony przez prędkość $v} )$ $displaystyle$ $displaystyle \ Delta x}$ w tym segmencie. Z każdym segmentem związana jest wartość funkcji powyżej, ${\ displaystyle f (x) = v}$ . Suma wszystkich takich prostokątów daje obszar między osią a krzywą stałą fragmentaryczną, która jest całkowitą przebytą drogą.

Załóżmy, że funkcja jest zdefiniowana w punktach środkowych przedziałów o równej długości ${\ Displaystyle \ Delta x = h> 0}$ :

{\ Displaystyle a + h / 2, a + h + h / 2,a+2h+h/2,\ldkropki ,a+nh-h/2,\ldkropki }

Wtedy suma Riemanna od do $displaystyle a}$ ${\ displaystyle b = a + nh}$ w notacji sigma wynosi: za {

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} f (a + ih) \, \ Delta x.}

Ponieważ to obliczenie jest przeprowadzane dla każdego , nowa funkcja jest definiowana w punktach: ${\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle a, a + h, a + 2 h, \ ldots, a + nh, \ ldots}

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego mówi, że różniczkowanie i całkowanie są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, wiąże ilorazy różnic z sumami Riemanna. Można to również interpretować jako precyzyjne stwierdzenie faktu, że różniczkowanie jest odwrotnością całkowania.

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego: Jeśli funkcja jest ${\ displaystyle b = a + nh} ,$ na podziale przedziału $[$ $, b]}$ , ${\ displaystyle$ jeśli jest funkcją, której iloraz różnic wynosi $f}$ , to mamy: fa {\ displaystyle f}

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} f (a + ih + h / 2) \, \ Delta x = F (b) -F (a).}

Ponadto dla każdego mamy: ${\textstyle m=0,1,2,\ldots,n-1$ }

{\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta} {\ Delta x}} \ suma _ {i = 0} ^ {m} f (a + ih + h/2) \, \ Delta x = f (a + mh + h/2).}

Jest to również prototypowe rozwiązanie równania różniczkowego . Równania różnicowe wiążą nieznaną funkcję z jej różnicą lub ilorazem różnic i są wszechobecne w naukach ścisłych.

Historia

Wczesna historia rachunku różniczkowego jest historią rachunku różniczkowego . Takie podstawowe idee, jak iloraz różnic i sumy Riemanna, pojawiają się implicite lub explicite w definicjach i dowodach. Jednak po zajęciu limitu nigdy więcej ich nie widziano. Jednak prawo napięcia Kirchhoffa (1847) można wyrazić za pomocą jednowymiarowej dyskretnej pochodnej zewnętrznej.

w miarę rozwoju obu zaczyna również czerpać z topologii algebraicznej . Główny wkład pochodzi od następujących osób:

Henri Poincaré : triangulacje ( podział barycentryczny , triangulacja podwójna ), lemat Poincarégo , pierwszy dowód ogólnego twierdzenia Stokesa i wiele więcej
LEJ Brouwer : twierdzenie o uproszczonej aproksymacji
Élie Cartan , Georges de Rham : pojęcie formy różniczkowej, pochodna zewnętrzna jako operator liniowy niezależny od współrzędnych , dokładność/zamkliwość form
Emmy Noether , Heinz Hopf , Leopold Vietoris , Walther Mayer : moduły łańcuchów , operator brzegowy , kompleksy łańcuchowe
JW Alexander , Solomon Lefschetz , Lev Pontryagin , Andrey Kolmogorov , Norman Steenrod , Eduard Čech : wczesne koncepcje cochain
Hermann Weyl : prawa Kirchhoffa określone w kategoriach operatorów brzegowych i kogranicznych
WVD Hodge : operator gwiazdy Hodge'a , rozkład Hodge'a
Samuel Eilenberg , Saunders Mac Lane , Norman Steenrod , JHC Whitehead : rygorystyczny rozwój teorii homologii i kohomologii , w tym kompleksów łańcuchowych i kołańcuchowych, produkt kubkowy
Hassler Whitney : współłańcuchy jako całki

Niedawny rozwój rachunku dyskretnego, poczynając od Whitneya, był napędzany potrzebami modelowania stosowanego .

Aplikacje

Rachunek dyskretny jest używany do modelowania bezpośrednio lub pośrednio jako dyskretyzacja rachunku nieskończenie małych w każdej gałęzi nauk fizycznych, nauk aktuarialnych , informatyki , statystyki , inżynierii, ekonomii, biznesu, medycyny, demografii oraz w innych dziedzinach, gdziekolwiek problem może być modelowane matematycznie . Pozwala przejść od (niestałego) tempa zmian do całkowitej zmiany lub odwrotnie, a wiele razy badając problem, znamy jedno i próbujemy znaleźć drugie.

Fizyka czyni szczególny użytek z rachunku różniczkowego; wszystkie koncepcje dyskretne w mechanice klasycznej i elektromagnetyzmie są powiązane rachunkiem różniczkowym. Masę obiektu o znanej gęstości, który zmienia się przyrostowo, moment bezwładności takich obiektów, a także całkowitą energię obiektu w dyskretnym polu konserwatywnym można znaleźć za pomocą rachunku różniczkowego. Przykładem zastosowania rachunku różniczkowego w mechanice jest drugie prawo dynamiki Newtona : w ujęciu historycznym wyraźnie używa terminu „zmiana ruchu”, który implikuje iloraz różnicowy, mówiąc: Zmiana pędu ciała jest równa wypadkowej sile działającej na ciała i jest w tym samym kierunku. Powszechnie wyrażany dzisiaj jako siła = masa × przyspieszenie, przywołuje rachunek dyskretny, gdy zmiana jest przyrostowa, ponieważ przyspieszenie jest ilorazem różnicy prędkości w odniesieniu do czasu lub drugiego ilorazu różnicy położenia przestrzennego. Rozpoczynając od wiedzy o przyspieszeniu obiektu, używamy sum Riemanna do wyznaczenia jego toru.

elektromagnetyzmu Maxwella i ogólna teoria względności Einsteina zostały wyrażone językiem rachunku dyskretnego.

Chemia używa rachunku różniczkowego do określania szybkości reakcji i rozpadu promieniotwórczego ( rozpad wykładniczy ).

W biologii dynamika populacji zaczyna się od wskaźników reprodukcji i śmiertelności w celu modelowania zmian populacji ( modelowanie populacji ).

W inżynierii równania różnicowe są używane do wykreślania kursu statku kosmicznego w środowiskach o zerowej grawitacji, do modelowania wymiany ciepła , dyfuzji i propagacji fal .

Dyskretny odpowiednik twierdzenia Greena jest zastosowany w przyrządzie zwanym planimetrem , który służy do obliczania pola powierzchni płaskiej na rysunku. Na przykład można go użyć do obliczenia powierzchni zajmowanej przez klomb o nieregularnym kształcie lub basen podczas projektowania układu działki. Może być używany do wydajnego obliczania sum prostokątnych domen na obrazach, do szybkiego wyodrębniania cech i wykrywania obiektów; innym algorytmem, którego można użyć, jest tablica zsumowanych obszarów .

W dziedzinie medycyny rachunek różniczkowy można wykorzystać do znalezienia optymalnego kąta rozgałęzienia naczynia krwionośnego, aby zmaksymalizować przepływ. Z praw rozkładu wydalania danego leku z organizmu, używa się go do wyprowadzenia praw dawkowania. W medycynie nuklearnej służy do budowy modeli transportu promieniowania w celowanych terapiach nowotworowych.

W ekonomii rachunek różniczkowy pozwala na określenie maksymalnego zysku poprzez obliczenie zarówno kosztu krańcowego , jak i przychodu krańcowego , a także modelowanie rynków.

Rachunku dyskretnego można używać w połączeniu z innymi dyscyplinami matematycznymi. Na przykład można go wykorzystać w teorii prawdopodobieństwa do określenia prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej z założonej funkcji gęstości.

Rachunek różnic i sum

$jest$ funkcja ( cochain) zdefiniowana w punktach oddzielonych przyrostem ${\ Displaystyle \ Delta x = h> 0}: za {\ displaystyle 0} -cochain) fa {\ displaystyle$ f $}$

{\ Displaystyle a, a + h, a + 2 h, \ ldots, a + nh, \ ldots}

Różnica (lub pochodna zewnętrzna lub operator kograniczny) funkcji jest dana wzorem :

{\ Displaystyle {\ duży (} \ Delta f {\ duży)} {\ duży (} [x, x + h] {\ duży)} = f (x + h) -f (x).}

Jest zdefiniowany w każdym z powyższych przedziałów; jest $to$ .

Załóżmy, że w każdym z powyższych przedziałów jest zdefiniowany za ${\ displaystyle 1}$ -cochain ${\ displaystyle g} .$ Wtedy jego suma jest funkcją ( -cochain) zdefiniowaną w każdym z punktów przez $:$

{\ Displaystyle \ lewo (\ suma g \ prawo) \! (a + nh) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} g {\ duży (} [a + (i-1) h, a + ih ]{\duży )}.}

Oto ich właściwości:

Stała reguła Jeśli ${\$ stałą , to

\Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g,\quad \sum (af+bg)=a\,\sum f+b\,\sum g

Liniowość $b}$ Jeśli i ${\ Displaystyle$ są stałymi ,

\Delta c=0

Product rule:

\Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g

Fundamental theorem of calculus I:

\left(\sum \Delta f\right)\!(a+nh)=f(a+nh)-f(a)

Fundamental theorem of calculus II:

\Delta \!\left(\sum g\right)=g

Definicje są stosowane do wykresów w następujący sposób. Jeśli funkcja ( jest zdefiniowana w węzłach wykresu: za ${\ displaystyle 0}$ -cochain) ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle a, b, c, \ ldots}

wtedy jej $-cochain$ zewnętrzna (lub różniczka) jest różnicą, tj. następującą funkcją zdefiniowaną na krawędziach wykresu ( ):

{\ Displaystyle \ lewo (df \ prawo) \! {\ duży (} [a, b] {\ duży)} = f (b) -f (a).}

Jeśli jest $-cochain$ , to jego całka $\sigma }$ sekwencji krawędzi wykresu jest sumą jego wartości na wszystkich krawędziach $σ$ $sigma}$ $\$ („całka po trajektorii”):

{\ Displaystyle \ int _ {\ sigma} g = \ suma _ {\ sigma} g {\ duży (} [a, b] {\ duży)}.}

Oto właściwości:

d(af+bg)=a\,df+b\,dg,\quad \int _{\sigma }(af+bg)=a\,\int _{\sigma }f+b\,\int _{\sigma }g

$dc$ reguła : jeśli jest stałą , to

liniowość $stałymi$ { \ $są$ , re do

=

Product rule:

d(fg)=f\,dg+g\,df+df\,dg

Fundamental theorem of calculus I: if a $1$ -chain $\sigma$ consists of the edges $[a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},a_{n}]$ , then for any $0$ -cochain $f$

\int _{\sigma }df=f(a_{n})-f(a_{0})

Fundamental theorem of calculus II: if the graph is a tree, $g$ is a $1$ -cochain, and a function ( $0$ -cochain) is defined on the nodes of the graph by

f(x)=\int _{\sigma }g

where a

1

-chain

\sigma

consists of

[a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},x]

for some fixed

a_{0}

, then

df=g

Zobacz referencje.

Łańcuchy uproszczeń i sześcianów

Prosty kompleks.

Uproszczony kompleks to zbiór uproszczeń , który spełnia następujące warunki: ${\ displaystyle S}$

1. Każda ściana simpleksu z jest również w

}

\ displaystyle S

.

{1}, \ sigma _ {2} \ w S}

σ _ jest twarzą obu

sigma _ {1}}

Displaystyle i

{\ Displaystyle \ sigma _ {2}}

.

Granica granicy 2-simpleksu (po lewej) i granica 1-łańcucha (po prawej) są brane pod uwagę. Oba są równe 0, będąc sumami, w których zarówno dodatnie, jak i ujemne zerowego simpleksu występują raz. Granica granicy jest zawsze równa 0. Cykl nietrywialny to coś, co zamyka się jak granica simpleksu, w tym sensie, że jej granica sumuje się do 0, ale co w rzeczywistości nie jest granicą simpleksu ani łańcucha.

Z definicji orientacja k -simpleksu jest określona przez uporządkowanie wierzchołków, zapisane jako ${0}, ..., v_ {k})}$ v_ , z regułą, że dwa porządki definiują tę samą orientację wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się parzystą permutacją . Zatem każdy simpleks ma dokładnie dwie orientacje, a zmiana kolejności dwóch wierzchołków zmienia orientację na przeciwną. Na przykład wybór orientacji 1-simplex jest równoznaczny z wyborem jednego z dwóch możliwych kierunków, a wybór orientacji 2-simplex jest równoznaczny z wyborem, co powinno oznaczać „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara”.

Niech będzie $kompleksem$ . Uproszczony k -łańcuch jest skończoną sumą formalną

\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} \ sigma _ {i}, \,}

gdzie każde c _i jest liczbą całkowitą, a σ _i jest zorientowanym k -simplexem. W definicji tej deklarujemy, że każdy zorientowany simpleks jest równy minusowi simpleksu o przeciwnej orientacji. Na przykład,

{\ Displaystyle (v_ {0}, v_ {1}) = - (v_ {1}, v_ {0}).}

Przestrzeń wektorowa k -łańcuchów na jest zapisana $displaystyle$ $S}$ \ . Ma $w$ korespondencji jeden do jednego ze zbiorem k -simplices w . Aby jawnie zdefiniować bazę, należy wybrać orientację każdego simplexu. Jednym ze standardowych sposobów na to jest wybranie uporządkowania wszystkich wierzchołków i nadanie każdemu simpleksowi orientacji odpowiadającej indukowanemu uporządkowaniu jego wierzchołków.

Niech ${\ Displaystyle \ sigma = (v_ {0}, ..., v_ {k})}$ zorientowanym k -simplexem, postrzeganym jako element podstawowy ${\ Displaystyle C_ {k}}$ . Operator granicy

{\ Displaystyle \ częściowe _ {k}: C_ {k} \ strzałka w prawo C_ {k-1}

jest operatorem liniowym zdefiniowanym przez:

{\ Displaystyle \ częściowe _ {k} (\ sigma) = \ suma _ {i = 0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\kropki ,{\szeroki kapelusz {v_{i}}},\kropki ,v_{k}),}

gdzie zorientowany simpleks

{\ Displaystyle (v_ {0}, \ kropki, {\ widehat {v_ {i}}}, \ kropki, v_ {k})}

jest $usunięcie$ ściana $,$ uzyskana $wierzchołka$ .

W elementach podgrupy do $k}}$

{\ Displaystyle Z_ {k} = \ ker \ częściowe _ {k}}

określane są jako cykle i podgrupa

{\ Displaystyle B_ {k} = \ operatorname {im} \ częściowe _ {k + 1}}

mówi się, że składa się z granic .

Bezpośrednie obliczenie pokazuje, że ${\ displaystyle \ częściowe ^ {2} = 0}$ . W kategoriach geometrycznych oznacza to, że granica czegokolwiek nie ma granic. $_$ przestrzenie _ _ _ Innym równoważnym stwierdzeniem jest to, że $}$ zawarte w $}$ \ displaystyle Z_ {k

Zespół sześcienny to zbiór złożony z punktów , odcinków linii , kwadratów , sześcianów i ich n -wymiarowych odpowiedników . Są one używane analogicznie do uproszczeń w celu utworzenia kompleksów. Przedział elementarny to podzbiór postaci ${\ displaystyle I \ podzbiór \ mathbf {R}}$

{\ Displaystyle I = [\ ell, \ ell + 1] \ quad {\ tekst {lub}} \ quad I = [\ ell, \ ell ]}

dla niektórych ${\ Displaystyle \ ell \ in \ mathbf {Z}}$ . Elementarny sześcian jest skończonym iloczynem elementarnych przedziałów, tj. ${\ displaystyle Q}$

{\ Displaystyle Q = I_ {1} \ razy I_ {2} \ razy \ cdots \ razy I_ {d} \ podzbiór \ mathbf {R} ^ {d }}

gdzie ${\ Displaystyle I_ {1}, ja_ {2}, \ ldots, ja_ {d}}$ są elementarnymi przedziałami. Równoważnie elementarna $^ {$ $}$ \ Displaystyle \ mathbf } dla niektórych ${\ Displaystyle n, d \ w \ mathbf {N} \ kubek \ {0 \}}$ z ${\ Displaystyle n \ równoważnik d}$ ). Zbiór jest sześciennym zespołem złożonym, jeśli można go zapisać jako sumę elementarnych kostek (lub ewentualnie jest homeomorficzny z takim zestawem) i ${\ Displaystyle X \ subseteq \ mathbf {R} ^ {d}}$ zawiera wszystkie ściany wszystkich swoich kostek. Operator brzegowy i kompleks łańcuchowy są definiowane podobnie jak dla kompleksów uproszczonych.

Bardziej ogólne są kompleksy komórkowe .

Złożony łańcuch jest $1$ przestrzeni $, C_ {1}, C_ {2}, C_ {3}, C_ {4}, \ ldots}$ ${\ Displaystyle \ częściowe _ {n}: C_ {n} \ do C_ {n-1}}$ połączone operatorami liniowymi (zwanymi operatorami granicznymi ) tak, że skład dowolnych dwóch kolejnych map jest mapą zerową. Jawnie operatory brzegowe spełniają ${\ Displaystyle \ częściowe _ {n} \ circ \ częściowe _ {n + 1} = 0}$ lub z wyłączonymi indeksami, ${\ Displaystyle \ częściowe ^{2}=0}$ . Kompleks można zapisać w następujący sposób.

{0}}} C_ {0} \xleftarrow {\częściowe _{1}}}C_{1}{\xleftarrow {\częściowe _{2}}}C_{2}{\xleftarrow {\częściowe _{3}}}C_{3}{\xleftarrow {\częściowe _{4}}}C_{4}{\xleftarrow {\częściowe _{5}}}\cdots}

Mapa uproszczona to mapa między kompleksami uproszczonymi z tą właściwością, że obrazy wierzchołków simpleksu zawsze obejmują simpleks (dlatego wierzchołki mają wierzchołki dla obrazów). Uproszczona mapa $uproszczonego$ złożonego do innego jest $displaystyle$ od zbioru wierzchołków ${\$ $S}$ do zbioru wierzchołków $T} taki,$ ${\ displaystyle S$ $w$ obraz każdego simpleksu w $($ jako zbiór wierzchołków) jest simpleksem . Generuje mapę liniową, zwaną $T}$ łańcuchową , od kompleksu łańcuchowego do kompleksu łańcuchowego $displaystyle$ . Wyraźnie jest to podane w łańcuchach przez ${\ displaystyle k}$

{\ Displaystyle f ((v_ {0}, \ ldots, v_ {k})) = (f ( v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}

jeśli ${\ Displaystyle f (v_ {0}), ..., f (v_ {k})} są różne, a$ tym jest równe ${\ displaystyle 0}$ .

Mapa łańcucha między dwoma kompleksami łańcuchowymi ${\ Displaystyle (A_ {*}, d_ {A, *}$ $)$ } ${ \ displaystyle (B_ {*}, d_ {B, *})}$ to sekwencja homomorfizmów ${\ displaystyle f_ {*}}$ $B_ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {n}: A_ {n } \$ $rightarrow$ dla każdego który dojeżdża z operatorami granicznymi na dwóch kompleksach łańcuchowych, więc ${\ displaystyle d_ {B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$ . Jest to zapisane na następującym schemacie przemiennym :

Mapa łańcucha wysyła cykle do cykli i granice do granic.

Zobacz referencje.

Dyskretne formy różniczkowe: współłańcuchy

Dla każdej przestrzeni wektorowej C _ja w kompleksie łańcuchowym rozważamy jej przestrzeń podwójną do $\ Displaystyle C_ {i} ^ {*}: = \ operatorname {Hom} ($ $^ {i} = \ częściowe _ {i} ^ {*}}$ = ∂ ja

{\ Displaystyle d ^ {i-1}: C_ {i-1} ^ {*} \ do C_ {i} ^ {*}.}

Powoduje to „odwrócenie wszystkich strzałek” pierwotnego kompleksu, pozostawiając kompleks cochain

\ Displaystyle \ cdots \ leftarrow C_ {i + 1} ^ {*} {\ stackrel {\ częściowe _{i}^{*}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {\partial _{i-1}^{*}}{\leftarrow }}C_{i-1 }^{*}\leftarrow \cdots }

Kompleks łańcuchowy $_$ _ _ _ Składa się z ciągu przestrzeni wektorowych ${\ Displaystyle ..., C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, C_ {3}, C_ {4}, ...}$ połączone operatorami liniowymi ${\ Displaystyle d ^ {n}: C ^ {n} \ do C ^ {n + 1}}$ satysfakcjonujące ${\ Displaystyle d ^ {n + 1} \ circ d ^ {n} =0}$ . Kompleks kołańcuchowy można zapisać w podobny sposób jak kompleks łańcuchowy.

{\ Displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {d ^ {- 1}}} C ^ {0 }{\xrightarrow {d^{0}}}C^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}C^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}C^{3}{ \xrightarrow {d^{3}}}C^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }

Indeks albo w albo do $displaystyle$ $\$ $^ {n}}$ określany jako stopień (lub wymiar ) Różnica między kompleksami łańcuchowymi i kołańcuchowymi polega na tym, że w kompleksach łańcuchowych różnice zmniejszają wymiar, podczas gdy w kompleksach kołańcuchowych zwiększają wymiar.

Elementy poszczególnych przestrzeni wektorowych kompleksu (ko)łańcuchów nazywane są współłańcuchami . Elementy w jądrze nazywane są kocyklami ( lub elementami zamkniętymi ), a elementy na obrazie nazywane $są$ ( lub $elementami$ dokładnymi . Od samego początku różniczkowania wszystkie granice są cyklami.

Lemat Poincarégo stwierdza, że jeśli $\$ otwartą piłką w $displaystyle$ każda zamknięta $p}$ ω $}$ $\ displaystyle \$ $zdefiniowana$ na jest dokładna dla dowolnej liczby całkowitej z $Displaystyle$ $1 \ równoważnik p \ równoważnik n$ .

Kiedy odnosimy się do współłańcuchów jako form dyskretnych (różnicowych) , odnosimy $pochodnej$ do zewnętrznej . Używamy również notacji rachunku różniczkowego dla wartości form:

{\ Displaystyle \ omega (s) = \ int _ {s} \ omega.}

Twierdzenie Stokesa jest stwierdzeniem o dyskretnych formach różniczkowych na rozmaitościach , które uogólnia fundamentalne twierdzenie rachunku dyskretnego dla podziału przedziału:

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} {\ Frac {\ Delta F} {\ Delta x}} (a + ih + h / 2) \, \ Delta x = F (b) -Fa).}

$}$ że suma formy na granicy jakiejś orientowalnej rozmaitości $omega$ równa sumie jej zewnętrznej pochodnej na $\ displaystyle$ całość , tj . ${\ displaystyle \ Omega}$

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} d \ omega = \ int _ {\ częściowe \ Omega} \ omega \,.}

Warto zbadać podstawową zasadę, $wymiarów$ . Zasadniczą ideę można zrozumieć na podstawie diagramu po lewej stronie, który pokazuje, że w zorientowanym kafelku rozmaitości wewnętrzne ścieżki przechodzą w przeciwnych kierunkach; ich wkład w całkę po trajektorii znosi się zatem parami. W konsekwencji pozostaje tylko wkład z granicy.

Zobacz referencje.

Produkt klinowy form

W rachunku dyskretnym jest to konstrukcja, która tworzy z form formy wyższego rzędu: przylegające dwa łańcuchy stopnia i $q},$ $displaystyle$ tworząc złożony łańcuch stopnia $\ displaystyle p + q }$ .

W przypadku kompleksów sześciennych iloczyn klina jest definiowany na każdym sześcianie postrzeganym jako przestrzeń wektorowa o tym samym wymiarze.

W przypadku uproszczonych kompleksów iloczyn klina jest realizowany jako iloczyn kubka : jeśli $-cochain$ jest ${\ displaystyle p}$ i $}$ ${\ displaystyle q}$ -cochain, więc

\ Displaystyle (f ^ { p}\smile g^{q})(\sigma )=f^{p}(\sigma _{0,1,...,p})\cdot g^{q}(\sigma _{p, p+1,...,p+q})}

gdzie ${\ Displaystyle \ sigma}$ to za ${\ Displaystyle (p + q)}$ - simplex i ${\ Displaystyle \ sigma _ {S}, \ S \ podzbiór \ {0,1, ..., p + q \}}$ , to simplex rozpięty przez ${\ displaystyle S}$ do ${\ Displaystyle (p + q)}$ -simplex, którego wierzchołki są indeksowane przez $q \}}$ . Więc, ${\ Displaystyle \ sigma _ {0,1, ..., p}}$ jest ${\ displaystyle p}$ $}}$ przednią ścianą i ${\ displaystyle$ ... , p + jest odpowiednio tylną ścianą $q }$ .

Współgranica iloczynu kubka współłańcuchów i ${q}}$ $}}$ p jest dana przez sol

{\ Displaystyle d (f ^ {p} \ uśmiech g ^ {q}) = d {f ^ {p}} \ uśmiech g ^ {q} + (-1) ^ {p} (f ^ {p} \ uśmiech d{g^{q}}).}

Produkt kubkowy dwóch kocykli jest ponownie kocyklem, a iloczyn współgranicy z kocyklem (w dowolnej kolejności) jest współgranicą.

Operacja kubka iloczynu spełnia tożsamość

{\ Displaystyle \ alfa ^ {p} \ uśmiech \ beta ^ {q} = (-1) ^ {pq} (\ beta ^ {q} \ uśmiech \ alfa ^ {p}).}

Innymi słowy, odpowiednie mnożenie jest stopniowane-przemienne .

Zobacz referencje.

Operator Laplace'a

Operator Laplace'a $jest$ wierzchołku (do pewnego współczynnika) szybkością, z jaką średnia wartość $f}$ $\$ $displaystyle \$ $}$ f ${\ displaystyle f (p)$ sąsiedztwie komórkowym odbiega od $p$ } Operator Laplace'a reprezentuje gęstość strumienia przepływu gradientu funkcji. Na przykład szybkość netto, z jaką substancja chemiczna rozpuszczona w płynie przemieszcza się w kierunku lub od pewnego punktu, jest proporcjonalna do operatora Laplace'a stężenia substancji chemicznej w tym punkcie; wyrażone symbolicznie, otrzymane równanie jest równaniem dyfuzji . Z tych powodów jest szeroko stosowany w naukach ścisłych do modelowania różnych zjawisk fizycznych.