Własność fuzji

Diagram przemienny właściwości amalgamacji.

W matematycznej dziedzinie teorii modeli właściwość amalgamacji jest właściwością zbiorów struktur , która gwarantuje, pod pewnymi warunkami, że dwie struktury w zbiorze można uznać za podstruktury większego.

Właściwość ta odgrywa kluczową rolę w twierdzeniu Fraïsségo , które charakteryzuje klasy struktur skończonych, które powstają jako wieki policzalnych struktur jednorodnych.

Diagram właściwości amalgamacji pojawia się w wielu dziedzinach logiki matematycznej . Przykłady obejmują logikę modalną jako kazirodczą relację dostępności ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} oraz rachunek lambda jako sposób redukcji mający właściwość Churcha-Rossera .

Definicja

Amalgamat można formalnie zdefiniować jako 5-krotkę ( A,f,B,g,C ) taką, że A,B,C są strukturami o tej samej sygnaturze , a f: A → B, g : A → C są osadzaniami . Przypomnijmy, że f: A → B jest osadzeniem , jeśli f jest morfizmem iniekcyjnym, który indukuje izomorfizm z A do podstruktury f(A) z B .

Klasa K struktur ma właściwość amalgamacji, jeśli dla każdego amalgamatu o A, B, C ∈ K i A ≠ Ø istnieje zarówno struktura D ∈ K , jak i zagłębienia f': B → D, g': C → D takie To

{\ displaystyle f '\ circ f = g' \ circ g. \,}

$ma właściwość amalgamacji$ pierwszego rzędu $,$ jeśli klasa modeli właściwość amalgamacji. Właściwość amalgamacji ma pewne powiązania z eliminacją kwantyfikatora .

Generalnie właściwość amalgamacji można rozpatrywać dla kategorii z określonym wyborem klasy morfizmów (w miejsce osadzania). Pojęcie to jest związane z kategorycznym pojęciem wycofania , w szczególności w związku z właściwością silnej amalgamacji (patrz poniżej).

Przykłady

Klasa zbiorów, w których osadzenia są funkcjami iniekcyjnymi, a jeśli zakłada się, że są inkluzjami, to amalgamat jest po prostu połączeniem dwóch zbiorów.
Klasa wolnych grup $, w$ osadzenia są homomorfizmami iniekcyjnymi i (zakładając, że są inkluzjami) amalgamatem, to ilorazowa gdzie * produktem .
Klasa skończonych porządków liniowych .

Podobnym, ale innym pojęciem do właściwości amalgamacji jest właściwość wspólnego osadzania . Aby zobaczyć różnicę, rozważmy najpierw klasę K (lub po prostu zbiór) zawierającą trzy modele o rzędach liniowych, L ₁ rozmiaru pierwszego, L ₂ rozmiaru drugiego i L ₃ rozmiaru trzeciego. Ta klasa K ma właściwość wspólnego osadzania, ponieważ wszystkie trzy modele mogą być osadzone w L ₃ . Jednak K nie ma właściwości amalgamacji. Kontrprzykład na to zaczyna się od L1 zawierającego pojedynczy element e i rozciąga _się na dwa różne sposoby do L3 , jeden, w którym e jest najmniejszy, a drugi, w którym _e jest największy. Teraz każdy wspólny model z osadzeniem z tych dwóch rozszerzeń musi mieć co najmniej rozmiar pięć, tak aby po obu stronach e znajdowały się dwa elementy .

Rozważmy teraz klasę ciał algebraicznie domkniętych . Ta klasa ma właściwość amalgamacji, ponieważ dowolne dwa rozszerzenia pola pierwszego pola mogą być osadzone we wspólnym polu. Jednak dwóch dowolnych pól nie można osadzić we wspólnym polu, gdy charakterystyka tych pól jest różna.

Silna właściwość amalgamacji

Klasa K struktur ma właściwość silnej amalgamacji (SAP), zwaną także właściwością rozłącznej amalgamacji (DAP), jeśli dla każdego amalgamatu z A,B,C ∈ K istnieje zarówno struktura D ∈ K , jak i osadzenia f': B → D, g': C → D takie, że

{\ Displaystyle f '\ circ f = g' \ circ g \,}

i

A] = (g'\ circ g) [A] \,}

[

dowolny zbiór X i funkcja h na X,

{\ Displaystyle h \ lbrack X \ rbrack = \ lbrace h (x) \ mid x \ w X \ rbrace. \,}

Zobacz też

Bibliografia

Hodges, Wilfrid (1997). Krótsza teoria modeli . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 0-521-58713-1 .
Wpisy dotyczące właściwości amalgamacji i silnej amalgamacji w internetowej bazie danych klas struktur algebraicznych (Wydział Matematyki i Informatyki, Chapman University).
EW Kiss, L. Márki, P. Pröhle, W. Tholen, Kategoryczne właściwości algebraiczne. Kompendium dotyczące amalgamacji, rozszerzenia kongruencji, epimorfizmów, resztkowej małości i iniekcji , Studia Sci. Matematyka Hungar 18 (1), 79-141, 1983 cały numer czasopisma .