Twierdzenie Tarskiego o wyborze

W matematyce twierdzenie Tarskiego , udowodnione przez Alfreda Tarskiego ( 1924 ) ${\ Displaystyle A \ razy A}$ stwierdza, że ​​​​w ZF twierdzenie „Dla każdego nieskończonego zbioru $}$ mapa bijekcyjna między zbiorami i $displaystyle A$ "implikuje aksjomat wyboru . Odwrotny kierunek był już znany, więc twierdzenie i aksjomat wyboru są równoważne.

Tarski powiedział Janowi Mycielskiemu ( 2006 ), że kiedy próbował opublikować twierdzenie w Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Fréchet i Lebesgue odmówili jego przedstawienia. Fréchet napisał, że implikacja między dwoma dobrze znanymi twierdzeniami nie jest nowym wynikiem. Lebesgue napisał, że implikacja między dwoma fałszywymi zdaniami nie ma znaczenia.

Dowód

Celem jest udowodnienie, że aksjomat wyboru implikuje stwierdzenie „dla każdego nieskończonego zbioru ${\ Displaystyle A:}$${\ Displaystyle | A | = | A \ razy A | }$ ". Wiadomo, że twierdzenie o dobrym porządku jest równoważne z aksjomatem wyboru; wystarczy więc pokazać, że stwierdzenie implikuje, że dla każdego $zbioru$ dobrze uporządkowany .

Ponieważ zbiór wszystkich liczb porządkowych , w których istnieje funkcja suriekcji od $liczby$ do liczby porządkowej, jest zbiorem, istnieje nieskończona liczba porządkowa taka ${\ displaystyle B}$ że ​​nie ma funkcji surjektywnej od ${\ Displaystyle B}$ do ${\ Displaystyle \ beta.}$ Zakładamy bez utraty ogólności , że zbiory ${\ Displaystyle B}$ i ${\ displaystyle \ beta}$ są rozłączne . Przy początkowym założeniu ${\ Displaystyle | B \ kubek \ beta | = | (B \ kubek \ beta) \ razy (B \ kubek \ beta) |,} istnieje$ więc bijekcja ${\ Displaystyle f: B \ kubek \ beta \ do (B \ kubek \ beta) \ razy (B \ kubek \ beta).}$

${\ Displaystyle x \ w B,}$ ∈ jest niemożliwe, aby $B],}$ ponieważ w przeciwnym razie moglibyśmy zdefiniować surjektywną funkcję od ${\ displaystyle B}$ do ${\ Displaystyle \ beta.}$ Dlatego istnieje co najmniej jedna liczba porządkowa ${\ Displaystyle \ gamma \ in \ beta}$ takie, że ${\ Displaystyle f (\ gamma) \ w \ beta \ razy \ {x \},}$ więc zbiór ${\ Displaystyle S_ {x} = \ {\ gamma: f (\ gamma) \ w \ beta \ razy \ {x \} \}}$ nie jest puste.

Możemy zdefiniować nową funkcję: ${x}.}$$jest$ Ta funkcja jest dobrze zdefiniowana, ponieważ zbiorem liczb porządkowych, a więc ma minimum. Dla każdego $y \ w B, x \$$}$ neq i ${\ displaystyle S_ {y}}$ są rozłączne. ${\ Displaystyle x \ równoważnik y \ iff g (x) \ równoważnik g (y)}$ zdefiniować porządek studni na każdym $definiujemy$$in$ od obrazu sol $\ displaystyle g}$ , czyli ${\ displaystyle g [B]}$ to zbiór liczb porządkowych, a zatem dobrze uporządkowany.

•   Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), Odpowiedniki aksjomatu wyboru II , North Holland / Elsevier, ISBN 0-444-87708-8
• Mycielski, Jan (2006), „System aksjomatów teorii mnogości dla racjonalistów” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 53 (2): 209
• Tarski, A. (1924), "Sur quelques twierdzenia qui równoważne a l'axiome du choix" , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147-154, doi : 10.4064/fm-5-1-147-154