Lista niekompletnych dowodów

Ta strona zawiera listę godnych uwagi przykładów niekompletnych opublikowanych dowodów matematycznych . Większość z nich była akceptowana jako poprawna przez kilka lat, ale później odkryto, że zawierają luki. Istnieją zarówno przykłady, w których później znaleziono pełny dowód, jak i przypadki, w których rzekomy wynik okazał się fałszywy.

Wyniki później okazały się rygorystyczne

Elementy Euklidesa . Dowody Euklidesa są zasadniczo poprawne, ale ściśle mówiąc, czasami zawierają luki, ponieważ milcząco wykorzystuje on pewne nieokreślone założenia, takie jak istnienie punktów przecięcia . W 1899 roku David Hilbert podał kompletny zestaw aksjomatów ( drugiego rzędu ) dla geometrii euklidesowej, zwanych aksjomatami Hilberta , aw latach 1926-1959 Tarski podał kilka kompletnych zestawów aksjomatów pierwszego rzędu , zwanych aksjomatami Tarskiego .
Nierówność izoperymetryczna . Dla trzech wymiarów stwierdza, że kształtem obejmującym maksymalną objętość dla jego pola powierzchni jest kula. Został sformułowany przez Archimedesa , ale rygorystycznie udowodniony dopiero w XIX wieku przez Hermanna Schwarza .
Nieskończenie małe . W XVIII wieku w rachunku różniczkowym szeroko stosowano nieskończenie małe liczby, chociaż nie były one tak naprawdę dobrze zdefiniowane. Rachunek różniczkowy został postawiony na solidnych podstawach w XIX wieku, a Robinson umieścił nieskończenie małe w rygorystycznych podstawach wraz z wprowadzeniem niestandardowej analizy w XX wieku.
Podstawowe twierdzenie algebry (patrz Historia ). W XVIII wieku podjęto wiele niepełnych lub błędnych prób udowodnienia tego twierdzenia, w tym d'Alembert (1746), Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), Laplace (1795), Wood (1798) i Gaussa (1799). Pierwszy rygorystyczny dowód został opublikowany przez Arganda w 1806 roku.
Twierdzenie Dirichleta o postępach arytmetycznych . W 1808 roku Legendre opublikował próbę dowodu twierdzenia Dirichleta, ale jak Dupré wskazał w 1859 roku, jeden z lematów użytych przez Legendre'a jest fałszywy. Dirichlet dał pełny dowód w 1837 roku.
Dowody twierdzenia Kroneckera-Webera autorstwa Kroneckera (1853) i Webera (1886) miały luki. Pierwszy kompletny dowód dał Hilbert w 1896 roku.
W 1879 roku Alfred Kempe opublikował rzekomy dowód twierdzenia o czterech kolorach , którego ważność jako dowodu była akceptowana przez jedenaście lat, zanim została obalona przez Percy'ego Heawooda . Peter Guthrie Tait podał kolejny błędny dowód w 1880 r., Który okazał się błędny przez Juliusa Petersena w 1891 r. Dowód Kempe wystarczył jednak, aby pokazać słabsze twierdzenie o pięciu kolorach . Twierdzenie o czterech kolorach zostało ostatecznie udowodnione przez Kennetha Appela i Wolfganga Hakena w 1976 roku.
Twierdzenie Schrödera-Bernsteina . W 1896 r. Schröder opublikował szkic próbny, który jednak w 1911 r. Alwin Reinhold Korselt okazał się wadliwy (potwierdzony przez Schrödera).
Twierdzenie o krzywej Jordana . Pojawiły się pewne kontrowersje co do tego, czy oryginalny dowód Jordana na to z 1887 roku zawiera luki. Oswald Veblen w 1905 roku stwierdził, że dowód Jordana jest niekompletny, ale w 2007 Hales powiedział, że luki są niewielkie i że dowód Jordana jest zasadniczo kompletny.
W 1905 roku Lebesgue próbował udowodnić (poprawny) wynik, że funkcją domyślnie zdefiniowaną przez funkcję Baire'a jest Baire, ale jego dowód błędnie założył, że rzut zbioru borelowskiego to borel. Suslin zwrócił uwagę na błąd i zainspirował się nim do zdefiniowania zbiorów analitycznych jako ciągłych obrazów zbiorów borelowskich.
Lemat Dehna . Dehn opublikował próbę dowodu w 1910 r., ale Kneser znalazł lukę w 1929 r. Ostatecznie udowodnił to w 1956 r. Christos Papakyriakopoulos .
Szesnasty problem Hilberta dotyczący skończoności liczby cykli granicznych płaskiego wielomianowego pola wektorowego. Henri Dulac opublikował częściowe rozwiązanie tego problemu w 1923 roku, ale około 1980 roku Écalle i Ilyashenko niezależnie znaleźli poważną lukę i naprawili ją około 1991 roku.
W 1929 roku Lazar Lyusternik i Lev Schnirelmann opublikowali dowód twierdzenia o trzech geodezjach , który później okazał się wadliwy. Dowód został ukończony przez Wernera Ballmanna około 50 lat później.
Reguła Littlewooda-Richardsona . Robinson opublikował niekompletny dowód w 1938 roku, chociaż luki nie były zauważane przez wiele lat. Pierwsze kompletne dowody podali Marcel-Paul Schützenberger w 1977 i Thomas w 1974.
Numery klas urojonych pól kwadratowych . W 1952 Heegner opublikował rozwiązanie tego problemu. Jego artykuł nie został zaakceptowany jako pełny dowód, ponieważ zawierał lukę, a pierwsze kompletne dowody zostały podane około 1967 roku przez Bakera i Starka . W 1969 roku Stark pokazał, jak wypełnić lukę w artykule Heegnera.
W 1954 Igor Szafarewicz opublikował dowód, że każda skończona rozwiązywalna grupa jest grupą Galois nad liczbami wymiernymi . Jednak Schmidt ^{[ kto? ]} zwrócił uwagę na lukę w argumencie przy liczbie pierwszej 2, którą Szafarewicz naprawił w 1989 roku.
Problem realizacji Nielsena . Kravetz twierdził, że rozwiązał ten problem w 1959 roku, najpierw pokazując, że przestrzeń Teichmüllera jest zakrzywiona ujemnie, ale w 1974 Masur wykazał, że nie jest zakrzywiona ujemnie. Problem realizacji Nielsena został ostatecznie rozwiązany w 1980 roku przez Kerckhoffa .
Problem z Yamabe . Yamabe zgłosił rozwiązanie w 1960 roku, ale Trudinger odkrył lukę w 1968 roku, a pełny dowód został podany dopiero w 1984 roku.
Hipoteza Mordella dotycząca pól funkcyjnych . Manin opublikował dowód w 1963 roku, ale Coleman (1990) znalazł i poprawił lukę w dowodzie.
W 1973 roku Britton opublikował 282-stronicową próbę rozwiązania problemu Burnside'a . W swoim dowodzie zakładał istnienie zbioru parametrów spełniających pewne nierówności, jednak Adian zwrócił uwagę, że nierówności te są niespójne. Novikov i Adian wcześniej znaleźli prawidłowe rozwiązanie około 1968 roku.
Klasyfikacja skończonych grup prostych . W 1983 roku Gorenstein ogłosił, że dowód klasyfikacji został zakończony, ale został wprowadzony w błąd co do statusu dowodu klasyfikacji grup quasitynowych , który zawierał poważną lukę. Kompletny dowód w tej sprawie został opublikowany przez Aschbachera i Smitha w 2004 roku.
Hipoteza Keplera . Hsiang opublikował na to niekompletny dowód w 1993 r. W 1998 r. Hales opublikował dowód oparty na długich obliczeniach komputerowych.

Nieprawidłowe wyniki

na szachownicy z 3 rzędami nie ma zamkniętych wycieczek rycerskich , ale w 1917 roku Ernest Bergholt znalazł wycieczki na planszach 3 na 10 i 3 na 12.
Hipoteza Eulera o grecko-łacińskich kwadratach . W latach osiemdziesiątych XVIII wieku Euler przypuszczał, że takie kwadraty nie istnieją dla żadnej dziwnie parzystej liczby n ≡ 2 (mod 4). W 1959 roku RC Bose i SS Shrikhande skonstruowali kontrprzykłady rzędu 22. Następnie ET Parker znalazł kontrprzykład rzędu 10, korzystając z jednogodzinnego wyszukiwania komputerowego. Wreszcie Parker, Bose i Shrikhande wykazali, że to przypuszczenie jest fałszywe dla wszystkich n ≥ 10.
W 1798 roku AM Legendre stwierdził, że 6 nie jest sumą 2 wymiernych sześcianów, co, jak zauważył Lamé w 1865 roku, jest fałszywe, ponieważ 6 = (37/21) ³ + (17/21) ³ .
W 1803 roku Gian Francesco Malfatti twierdził, że udowodnił, że pewien układ trzech okręgów obejmowałby maksymalne możliwe pole wewnątrz trójkąta prostokątnego. Jednak w tym celu poczynił pewne nieuzasadnione założenia dotyczące konfiguracji kręgów. W 1930 roku wykazano, że koła w innej konfiguracji mogą obejmować większy obszar, aw 1967 roku, że konfiguracja Malfattiego nigdy nie była optymalna. Zobacz kręgi Malfattiego .
W 1806 roku André-Marie Ampère twierdził, że udowodnił, że funkcja ciągła jest różniczkowalna w większości punktów (chociaż nie jest do końca jasne, co twierdził, ponieważ nie podał dokładnej definicji funkcji). Jednak w 1872 roku Weierstrass podał przykład funkcji ciągłej, która nigdzie nie była różniczkowalna: funkcja Weierstrassa .
Teoria przecięć . W 1848 Steiner twierdził, że liczba stożków stycznych do 5 danych stożków wynosi 7776 = 6 ⁵ , ale później zdał sobie sprawę, że to nieprawda. Właściwą liczbę 3264 odkrył Berner w 1865 r., Ernest de Jonquieres około 1859 r. i Chasles w 1864 r., używając swojej teorii cech. Jednak wyniki te, podobnie jak wiele innych w klasycznej teorii przecięć, nie wydają się mieć pełnych dowodów aż do prac Fultona i Macphersona około 1978 roku.
Zasada Dirichleta . Zostało to użyte przez Riemanna w 1851 r., Ale Weierstrass znalazł kontrprzykład dla jednej wersji tej zasady w 1870 r., A Hilbert stwierdził i udowodnił poprawną wersję w 1900 r.
Cayley ( 1878 ) błędnie stwierdził, że istnieją trzy różne grupy rzędu 6. Ten błąd jest dziwny, ponieważ we wcześniejszej pracy z 1854 roku słusznie stwierdził, że istnieją tylko dwie takie grupy .
Podstawy matematyki Frege'a w jego książce Begriffsschrift z 1879 roku okazały się niespójne z powodu paradoksu Russella , znalezionego w 1901 roku.
W 1885 roku Evgraf Fiodorow sklasyfikował wypukłe wielościany z przystającymi rombowymi ścianami, ale przegapił przypadek. Stanko Biliński w 1960 roku ponownie odkrył dwunastościan Bilińskiego (zapomniany po jego poprzedniej publikacji z 1752 roku) i udowodnił, że po dodaniu tego kształtu klasyfikacja jest kompletna.
wrońskian . W 1887 Mansion stwierdził w swoim podręczniku, że jeśli Wrońskian niektórych funkcji znika wszędzie, to funkcje są liniowo zależne. W 1889 Peano wskazał kontrprzykład x ² i x | x |. Wynik jest poprawny, jeśli funkcje są analityczne .
Vahlen ( 1891 ) opublikował rzekomy przykład krzywej algebraicznej w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej , której nie można zdefiniować jako zer 3 wielomianów, ale w 1941 Perron znalazł 3 równania definiujące krzywą Vahlen. W 1961 roku Kneser wykazał, że dowolną krzywą algebraiczną w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej można przedstawić jako zera 3 wielomianów.
W 1898 Miller opublikował artykuł błędnie twierdząc, że udowodnił, że grupa Mathieu M ₂₄ nie istnieje, chociaż w 1900 wskazał, że jego dowód był błędny.
Little twierdził w 1900 r., Że skręt zredukowanego diagramu węzłów jest niezmiennikiem. Jednak w 1974 roku Perko odkrył kontrprzykład zwany parą Perko , parę węzłów wymienianych jako odrębne w tabelach przez wiele lat, które w rzeczywistości są takie same.
Dwudziesty pierwszy problem Hilberta . W 1908 Plemelj twierdził, że wykazał istnienie równań różniczkowych Fuchsa z dowolną grupą monodromów , ale w 1989 Bolibruch odkrył kontrprzykład.
W 1925 roku Ackermann opublikował dowód na to, że słaby system może udowodnić spójność wersji analizy, ale kilka lat później von Neumann znalazł w nim wyraźny błąd. Twierdzenia Gödla o niezupełności pokazały, że nie jest możliwe udowodnienie spójności analizy przy użyciu słabszych systemów.
Grupy rzędu 64. W 1930 roku Miller opublikował artykuł, w którym stwierdził, że istnieją 294 grupy rzędu 64. Hall i Senior wykazali w 1964 roku, że poprawna liczba to 267.
Churcha próba zdefiniowania systemu formalnego w 1932 r. była niespójna, podobnie jak jego poprawka w 1933 r. Spójną częścią jego systemu stał się później rachunek lambda .
Kurt Gödel udowodnił w 1933 r., że prawdziwość pewnej klasy zdań arytmetyki pierwszego rzędu , znanej w literaturze jako [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , all , (0)], jest rozstrzygalna . Oznacza to, że istniała metoda prawidłowego decydowania, czy jakiekolwiek stwierdzenie w tej formie jest prawdziwe. W ostatnim zdaniu tego artykułu stwierdził, że ten sam dowód zadziałałby dla rozstrzygalności większej klasy [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , all , (0)] ₌ , który obejmuje również formuły zawierające predykat równości. Jednak w połowie lat sześćdziesiątych Stål Aanderaa wykazał, że dowód Gödla nie przejdzie dla większej klasy, aw 1982 Warren Goldfarb wykazał, że ważność formuł z większej klasy jest w rzeczywistości nierozstrzygalna.
Twierdzenie Grunwalda-Wanga . Wilhelm Grunwald opublikował w 1933 roku błędny dowód błędnego twierdzenia, a później George Whaples opublikował kolejny błędny dowód. Shianghao Wang znalazł kontrprzykład w 1948 roku i opublikował poprawioną wersję twierdzenia w 1950 roku.
W 1934 Severi twierdził, że przestrzeń wymiernych klas równoważności cykli na powierzchni algebraicznej jest skończona wymiarowo, ale Mumford (1968) wykazał, że jest to fałszywe dla powierzchni dodatniego rodzaju geometrycznego.
Quine opublikował swój oryginalny opis systemu Mathematical Logic w 1940 r., Ale w 1942 r. Rosser wykazał, że jest on niespójny. Wang znalazł poprawkę w 1950 roku; spójność tego zmienionego systemu jest nadal niejasna.
Jeden z wielu przykładów z geometrii algebraicznej pierwszej połowy XX wieku: Severi (1946) twierdził, że powierzchnia stopnia n w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej ma co najwyżej (
^{n +2}₃ )−4 węzły, B. Segre wskazał się, że to było złe; na przykład dla stopnia 6 maksymalna liczba węzłów wynosi 65, osiągnięta przez sekstykę Bartha , czyli więcej niż maksymalna liczba 52, o której mówi Severi.
Niezmiennik Rokhlina . Rokhlin błędnie twierdził w 1951 r., że trzeci stabilny rdzeń homotopii grup kul jest rzędu 12. W 1952 r. odkrył swój błąd: w rzeczywistości jest cykliczny rzędu 24. Różnica jest zasadnicza, ponieważ skutkuje istnieniem Rokhlina niezmiennik, podstawowe narzędzie w teorii rozmaitości 3- i 4-wymiarowych .
W 1961 roku Jan-Erik Roos opublikował błędne twierdzenie o zaniku pierwszego pochodnego funktora odwrotnego funktora granicznego w pewnych ogólnych warunkach. Jednak w 2002 roku Amnon Neeman skonstruował kontrprzykład. Roos wykazał w 2006 r., że twierdzenie jest prawdziwe, jeśli doda się założenie, że kategoria ma zbiór generatorów .
Mnożnik Schura grupy Mathieu M ₂₂ jest szczególnie znany, ponieważ został błędnie obliczony więcej niż raz: Burgoyne i Fong (1966) najpierw twierdzili, że ma rząd 3, a następnie w poprawce z 1968 r. Twierdzili, że ma rząd 6; jego kolejność jest w rzeczywistości (obecnie uważana za) 12. Spowodowało to błąd w tytule artykułu Janko Nowa skończona prosta grupa rzędu 86 775 570 046 077 562 880, która posiada M ₂₄ i pełną grupę pokrywającą M ₂₂ jako podgrupę na J4 : nie ma pełnej grupy pokrywającej jako podgrupy, ponieważ pełna grupa pokrywająca jest większa, niż sądzono w tamtym czasie.
Oryginalne stwierdzenie klasyfikacji grup N przez Thompsona w 1968 roku przypadkowo pominęło grupę cycków , chociaż wkrótce to naprawił.
W 1967 Reinhardt zaproponował kardynałów Reinhardta , które Kunen okazał się niespójne z ZFC w 1971, chociaż nie są one znane jako niespójne z ZF .
Oryginalna wersja intuicjonistycznej teorii typów Pera Martina-Löfa, zaproponowana w 1971 roku, okazała się niespójna przez Jean-Yvesa Girarda w 1972 roku i została zastąpiona poprawioną wersją.
W 1975 roku Leitzel, Madan i Queen błędnie twierdzili, że istnieje tylko 7 pól funkcyjnych nad polami skończonymi z rodzajem > 0 i klasą numer 1, ale w 2013 roku Stirpe znalazł inny; w rzeczywistości jest ich dokładnie 8.
Problem Busemanna-Petty'ego . Zhang opublikował dwa artykuły w Annals of Mathematics w 1994 i 1999 r., W pierwszym z nich udowodnił, że problem Busemanna-Petty'ego w R ⁴ ma rozwiązanie negatywne, aw drugim udowodnił, że ma rozwiązanie pozytywne.
Stosy algebraiczne . W książce Laumon & Moret-Bailly (2000) o stosach algebraicznych błędnie stwierdzono, że morfizmy stosów algebraicznych indukują morfizmy topoi lisse-étale . Wyniki zależne od tego zostały skorygowane przez Olssona (2007) .

Stan niejasny

Jednostajna zbieżność . W swoim Cours d'Analyse z 1821 r. Cauchy „udowodnił”, że jeśli suma funkcji ciągłych jest zbieżna punktowo , to jej granica jest również ciągła. Jednak Abel zauważył, że tak nie jest. Aby wniosek był ważny, „zbieżność punktową” należy zastąpić „ zbieżnością jednostajną”. Nie jest do końca jasne, czy pierwotny wynik Cauchy'ego był błędny, ponieważ jego definicja zbieżności punktowej była nieco niejasna i mogła być silniejsza niż obecnie używana, a istnieją sposoby na interpretację jego wyniku, aby był poprawny. Istnieje wiele kontrprzykładów wykorzystujących standardową definicję zbieżności punktowej.Na przykład szereg Fouriera funkcji sinus i cosinus , wszystkie ciągłe, może zbiegać się punktowo do funkcji nieciągłej, takiej jak funkcja schodkowa .
Hipoteza Carmichaela o funkcji totient została sformułowana jako twierdzenie przez Roberta Daniela Carmichaela w 1907 r., Ale w 1922 r. Wskazał, że jego dowód jest niekompletny. Od 2016 roku problem jest nadal otwarty.
Włoska szkoła geometrii algebraicznej . Większość luk w dowodach jest spowodowana albo subtelnym niedopatrzeniem technicznym, albo przed XX wiekiem brakiem precyzyjnych definicji. Głównym wyjątkiem jest włoska szkoła geometrii algebraicznej z pierwszej połowy XX wieku, w której stopniowo akceptowano niższe standardy rygoru. W rezultacie istnieje wiele artykułów w tej dziedzinie, w których dowody są niekompletne lub twierdzenia nie są sformułowane dokładnie. Ta lista zawiera kilka reprezentatywnych przykładów, w których wynik nie tylko nie został w pełni udowodniony, ale także beznadziejnie błędny.
W 1933 roku George David Birkhoff i Waldemar Joseph Trjitzinsky opublikowali bardzo ogólne twierdzenie o asymptotyce ciągów spełniających rekurencje liniowe. Twierdzenie to zostało spopularyzowane przez Jeta Wimpa i Dorona Zeilbergera w 1985 roku. Jednak chociaż wynik jest prawdopodobnie prawdziwy, na dzień dzisiejszy (2021) dowód Birkhoffa i Trjitzinsky'ego nie jest ogólnie akceptowany przez ekspertów, a twierdzenie jest (akceptowalnie) udowodnione tylko w specjalnych sprawy.
przypuszczenie Jakobiana . Keller zadał to pytanie w 1939 r., Aw ciągu następnych kilku lat opublikowano kilka niekompletnych dowodów, w tym 3 autorstwa B. Segre, ale Wituszkin znalazł luki w wielu z nich. Hipoteza Jakobianu jest (od 2016 r.) Problemem otwartym i regularnie ogłaszanych jest więcej niekompletnych dowodów. Hyman Bass, Edwin H. Connell i David Wright ( 1982 ) omawiają błędy w niektórych z tych niekompletnych dowodów.
Wzmocnienie szesnastego problemu Hilberta z pytaniem, czy istnieje jednolita skończona górna granica liczby cykli granicznych płaskich wielomianowych pól wektorowych danego stopnia n . W latach pięćdziesiątych Evgenii Landis i Ivan Petrovsky opublikowali rzekome rozwiązanie, ale na początku lat sześćdziesiątych zostało ono pokazane błędnie.
W 1954 Zarankiewicz twierdził, że rozwiązał problem fabryki cegieł Turána dotyczący przecinania się liczby kompletnych grafów dwudzielnych , ale Kainen i Ringel zauważyli później lukę w jego dowodzie.
Złożone struktury na 6-sferze. W 1969 roku Alfred Adler opublikował artykuł w American Journal of Mathematics, w którym stwierdził, że 6-sfera nie ma złożonej struktury. Jego argument był niekompletny i jest to (od 2016 r.) Nadal poważny otwarty problem.
Geodezja zamknięta . W 1978 roku Wilhelm Klingenberg opublikował dowód, że gładkie zwarte rozmaitości bez brzegów mają nieskończenie wiele zamkniętych geodezyjnych. Jego dowód był kontrowersyjny i obecnie (od 2016 r.) Nie ma zgody co do tego, czy jego dowód jest kompletny.
Hipoteza teleskopu . Ravenel ogłosił obalenie tego w 1992 roku, ale później je wycofał, a przypuszczenie jest nadal otwarte.
Pakiety Matroidów. W 2003 roku Daniel Biss opublikował artykuł w Annals of Mathematics, twierdząc, że pokazuje, że wiązki matroidów są równoważne wiązkom wektorów rzeczywistych, ale w 2009 roku opublikował poprawkę wskazującą na poważną lukę w dowodzie. Jego poprawka została oparta na artykule Mnëva z 2007 roku.
W 2012 roku japoński matematyk Shinichi Mochizuki opublikował w Internecie serię artykułów, w których twierdzi, że udowodnił hipotezę abc . Pomimo późniejszej publikacji w recenzowanym czasopiśmie, jego dowód nie został zaakceptowany jako poprawny w głównym nurcie społeczności matematycznej.

Zobacz też

Notatki

Bas, Hyman ; Connell, Edwin H.; Wright, David (1982), „Przypuszczenie Jakobiana: redukcja stopnia i formalna ekspansja odwrotności”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , New Series, 7 (2): 287–330, doi : 10.1090 / S0273-0979- 1982-15032-7 , ISBN 978-1-982150-32-7 , MR 0663785
Burgoyne, N.; Fong, Paul (1966), „Mnożniki Schura grup Mathieu”, Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017 / S0027763000026519 , ISSN 0027-7630 , MR 0197542
Cayley, A. (1878), „Dezyderaty i sugestie: nr 1. Teoria grup”, Am. J. Matematyka. , 1 (1): 50–52, doi : 10.2307/2369433 , JSTOR 2369433
Coleman, Robert F. (1990), „Dowód Manina na hipotezę Mordella nad polami funkcyjnymi”, L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 36 (3): 393–427, ISSN 0013-8584 , MR 1096426
Laumon, Gerard ; Moret-Bailly, Laurent (2000), Champs algébriques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Seria nowoczesnych ankiet z matematyki [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych. 3. seria. Seria współczesnych badań matematycznych, tom. 39, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65761-3 , MR 1771927
Mumford, David (1968), „Racjonalna równoważność 0-cykli na powierzchniach”, Journal of Mathematics of Kyoto University , 9 (2): 195–204, doi : 10,1215 / kjm / 1250523940 , ISSN 0023-608X , MR 0249428
Olsson, Martin (2007), „Snopy na stosach Artina”, Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2007 (603): 55–112, doi : 10.1515/CRELLE.2007.012 , ISSN 0075-4102 , MR 2312554 , S2CID 1544596 2
Rokhlin, VA (1951), „Klasyfikacja odwzorowań sfery (n+3) wymiarowej na n-wymiarową”, Doklady Akademii Nauk SSSR , New Series, 81 : 19–22, MR 0046043
Severi, Francesco (1946), „Sul massimo numero di nodi di una superficie di data ordine dello spazio ordinario o di una forma di un operaspazio”, Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 25 : 1–41, doi : 10.1007 /bf02418077 , ISSN 0003-4622 , S2CID 122620694
Vahlen, KT (1891), "Bemerkung zur vollställndigen Darstellung algebraischer Raumkurven" , J. Reine Angew. Matematyka , 108 : 346–347

Dalsza lektura

Lecat, Maurice (1935), Erreurs de mathématiciens des origines à nos jours , Bruxelles - Louvain: Librairie Castaigne - Ém. Desbarax — wymienia ponad sto stron (w większości trywialnych) opublikowanych błędów popełnionych przez matematyków.

Linki zewnętrzne

Davida Mumforda o błędach włoskiej szkoły geometrii algebraicznej pod kierownictwem Severiego
Na pierwszych 9 stronach [1] wymieniono kilka przykładów błędnych wyników w teorii homotopii.

Pytania MathOverflow

Ilya Nikokoshev, Najciekawszy błąd matematyczny?
Kevin Buzzard, jakie błędy faktycznie popełnili włoscy geometrzy algebraiczni?
Czy Jagy, Powszechnie akceptowane wyniki matematyczne, które później okazały się błędne?
John Stillwell, Jakie są poprawne wyniki odkryte z błędnymi (lub bez) dowodami?
Moritz. Twierdzenia zdegradowane z powrotem do przypuszczeń
Mei Zhang, Dowody okazały się błędne po sformalizowaniu z asystentem dowodowym

StackExchange pytania

Steven-Owen, Czy w historii matematyki zdarzył się kiedyś błąd?