Twierdzenie Tonellego ( analiza funkcjonalna )

W przypadku innych zastosowań zobacz twierdzenie Tonellego .

W matematyce twierdzenie Tonellego w analizie funkcjonalnej jest fundamentalnym wynikiem dotyczącym słabej dolnej półciągłości nieliniowych funkcjonałów w przestrzeniach L ^p . Jako taka ma poważne implikacje dla analizy funkcjonalnej i rachunku wariacyjnego . Z grubsza pokazuje, że słaba dolna półciągłość dla funkcjonałów całkowych jest równoważna wypukłości jądra całkowego. Wynik przypisuje się włoskiemu matematykowi Leonida Tonelli .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech $będzie$ domeną ograniczoną w - wymiarowej euklidesowej $\ mathbb {R} ^ {n}}$$Displaystyle$ i $o wartościach rzeczywistych$ będzie ciągłą funkcją . Zdefiniuj nieliniowy funkcjonał ${\ Displaystyle F}$ na funkcjach ${\ Displaystyle u: \ Omega \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$ przez

$${\ Displaystyle F [u] = \ int _ {\ Omega} f (u (x)) \ \ operatorname {d} x.}$$

Wtedy jest sekwencyjnie słabo dolny półciągły w przestrzeni $L ^ {p}}$$Displaystyle$$L ^ {p} (\ Omega, \ mathbb {R } ^ {m}}}$ dla ${\ Displaystyle 1 <p <+ \ infty}$ i słabo - ∗ niższy półciągły na ${\ Displaystyle L ^ {\ infty} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {m})}$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R } ^{m}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ zdefiniowane przez

$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m} \ ni u \ mapsto f (u) \ w \ mathbb {R} \ kubek \ {\ pm \infty \}\ }$$

jest wypukły .

Zobacz też

• Nieciągły funkcjonał liniowy

•   Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Teksty z matematyki stosowanej 13 (wyd. Drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. P. 347. ISBN 0-387-00444-0 . (Twierdzenie 10.16)